\section{连分数及其应用}

\begin{frame}{有理数的简单连分数}

  \pause
Euclid 的辗转相除法与连分数关系密切。 
\pause
我们可以将 \S1.2 中的辗转相除式改写如下 (现将不完全商 $q_{i}$ 改记为 $a_{i}$. 设 $a, b$ 为正整数):
\[
  \begin{gathered}
  \frac{a}{b}=a_{0}+\frac{r_{1}}{b}, \quad 
\pause
  \frac{b}{r_{1}}=a_{1}+\frac{r_{2}}{r_{1}}, \quad 
\pause
  \frac{r_{1}}{r_{2}}=a_{2}+\frac{r_{3}}{r_{2}}, \cdots \\
  \pause
  \frac{r_{s-2}}{r_{s-1}}=a_{s-1}+\frac{r_{s}}{r_{s-1}}, \quad
\pause
  \frac{r_{s-1}}{r_{s}}=a_{s}.
\end{gathered}
\]
\pause
(这也就是：取 $a / b$ 的整数部分 $a_{0}$, 再取其分数部分的倒数的整数部分 $a_{1}$, 等等). 
\pause
依次将后式的倒数代人前式， 则得到
\[
  \begin{aligned}
  \frac{a}{b}&= a_{0}+\frac{r_{1}}{b}
\pause
  =a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{r_{2}}{r_{1}}}
\pause
  =a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{r_{3}}{r_{2}}}}=\cdots \\
  \pause
  &= a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\cdots + \frac{1}{a_{s-1}+\frac{1}{a_{s}}}}}}.
\end{aligned}
\]
\pause
此分数称为 $\frac{a}{b}$ 的\emph{简单连分数}。 
\pause
为了书写方便， 记为
\[
\frac{a}{b}=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}\right]
\]
\end{frame}

\begin{frame}{正实数的连分数}

例如， 由辗转相除 $17=10 \cdot 1+7,10=7 \cdot 1+3,7=3 \cdot 2+1,3=1 \cdot 3+0$, 得
\[
\frac{17}{10}=1+\frac{7}{10}=1+\frac{1}{\frac{10}{7}}=1+\frac{1}{1+\frac{3}{7}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{7}{3}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}
\]
\pause
连分数前 3 项 $[1,1,2]$ 得到的分数为 $\frac{5}{3}=1.666$, 是 $\frac{17}{10}$ 的很好近似。

~

\pause
推而广之， 按这种方法可得到\emph{任意正实数 $\alpha$ 的连分数}（一般是无限的）:
\pause
先表 $\alpha$ 为其整数部分 $a_{0}=\lfloor\alpha\rfloor$ (也记为 $[\alpha]$ ) 与其小数部分 $\gamma_{1}=\{\alpha\}$ 之和， 再表 $t_{1}=\gamma_{1}^{-1}$ 为其整数部分 $a_{1}$ 与小数部分 $\gamma_{2}$ 之和， 等等， 
\pause
即
\[
\alpha=a_{0}+\gamma_{1}, \quad t_{1}=\frac{1}{\gamma_{1}}=a_{1}+\gamma_{2}, \quad t_{2}=\frac{1}{\gamma_{2}}=a_{2}+\gamma_{3}, \cdots
\]
其中 $a_{i}$ ($i=0,1,2, \cdots$) 为正整数， $0<\gamma_{j}<1$ ($j=1,2, \cdots$). 
\pause
于是得到实数 $\alpha$ 的 (无限) 连分数
\[
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\ddots}}}=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right]
\]
\pause
这称为\emph{简单连分数} (simple continued fraction), 因为 $a_{i}$ 均为正整数。
\end{frame}

\begin{frame}
例如， 对 $\alpha=\sqrt{7}$, 只需注意到 $2<\sqrt{7}<3$, 就可得到
\[
  \begin{gathered}
  \sqrt{7}=2+(\sqrt{7}-2), \quad \frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}=1+\frac{\sqrt{7}-1}{3} \\
\frac{3}{\sqrt{7}-1}=\frac{\sqrt{7}+1}{2}=1+\frac{\sqrt{7}-1}{2}, \quad \frac{2}{\sqrt{7}-1}=\frac{\sqrt{7}+1}{3}=1+\frac{\sqrt{7}-2}{3} \\
\frac{3}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{1}=4+(\sqrt{7}-2), \quad \frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}=1+\frac{\sqrt{7}-1}{3}.
\end{gathered}
\]
\pause
显然此式与第 2 式相同， 故往下的运算应与第 3 式相同， 如此等等， 则得到循环的连分数
\[
[2,1,1,1,4,1,1,1,4, \cdots]=[2, \overline{1,1,1,4}],
\]
其中 $\overline{1,1,1,4}$ 表示 “ $1,1,1,4$ ”循环出现。
\pause
可以证明， 形如 $a+b \sqrt{d}$ 的数 ($a,
b,\in \mathbb{Q}, d\in \ZZ, \sqrt{d} \notin \mathbb{Q}$) 的连分数总是循环的， 反之亦然 (见本书第六章). 
\pause
考察 $\sqrt{7}$ 的连分数展开各步， 注意
\[
  \begin{gathered}
  {[2,1]=3, \quad[2,1,1]=\frac{5}{2}=2.5} \\
{[2,1,1,1]=\frac{8}{3}=2.6 \dot{6}, \quad[2,1,1,1,4]=\frac{37}{14}=2.642 \cdots}
\end{gathered}
\]
\pause
随着展开的步骤增多， 逐渐接近原实数 $\sqrt{7}=2.6457 \cdots$. 故我们可写
\[
  \sqrt{7}=[2, \overline{1,1,1,4}].
\]
\end{frame}

\begin{frame}
一般地， 如果只取连分数的前 $n$ 步， 记为
\[
  \alpha_{n}=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right],
\]
则称$\alpha_n$为连分数 $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right]$ 的\emph{第 $n$ 个渐近分数} ( $n$-th convergent, approximating fraction). 
\pause
例如
\[
  \left[a_{0}\right]=\frac{a_{0}}{1}, \quad
  \pause
  \left[a_{0}, a_{1}\right]=\frac{a_{0} a_{1}+1}{a_{1}}, \quad
  \pause
  \left[a_{0}, a_{1}, a_{2}\right]=\frac{a_{0} a_{1} a_{2}+a_{2}+a_{0}}{a_{1} a_{2}+1}.
\]

\pause
\vspace*{-1em}
\begin{theorem}%定理1
设正实数 $\alpha$ 展开连分数为 $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right]$.

(1) 渐近分数 $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]=\frac{p_{n}}{q_{n}}$, 其中$p_n,q_n$如下递归地定义:
\[
  \left\{\begin{array}{lll}
      p_{0}=a_{0}, & p_{1}=a_{0} a_{1}+1, & p_{n}=a_{n} p_{n-1}+p_{n-2}, \\
    q_{0}=1, & q_{1}=a_{1}, & q_{n}=a_{n} q_{n-1}+q_{n-2},
\end{array}\right.
(n\geqslant 2).
\]
\pause
事实上， 对任何 $x$, 有 $\left[a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}, x\right]=\frac{x p_{n-1}+p_{n-2}}{x q_{n-1}+q_{n-2}}$.

\pause
(2) 渐近分数 $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ 收敛于原实数 $\alpha$ (故可写 $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right]$), 而且是 $\alpha$ 的最佳逼近分数 (即分母不大于 $q_{n}$ 的分数中， $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ 与 $\alpha$ 最接近)， 且 $\frac{p_{2 n}}{q_{2 n}}$ 和 $\frac{p_{2 n+1}}{q_{2 n+1}}$ 分别单调递增、单调递减地趋于 $\alpha$. 并且
\[
  \left|\alpha-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right| \leqslant \frac{1}{q_{n} q_{n+1}}<\frac{1}{q_{n}^{2}}.
\]
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}
    (1) 对 $n\geqslant 2$ 用数学归纳法。$n=2$已知成立。考虑$n>2$. 设定理对小于 $n$ 的情形成立。 
\pause
    将 $\left[a_{0}, a_{1}, \cdots\right.$, $\left.a_{n-1}, a_{n}\right]$ 的最后两项合并得到
 \[
 \left[a_{0}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}\right]=\left[a_{0}, \cdots, a_{n-2},\left(a_{n-1}+\frac{1}{a_{n}}\right)\right]=\left[a_{0}, \cdots, a_{n-2}, a_{n-1}^{\prime}\right]
 \]
 其中 $a_{n-1}^{\prime}=\frac{a_{n-1} a_{n}+1}{a_{n}}$. 
\pause
 按归纳法假设， 定理对 $n-1$ 情形成立， 故得到此式值为
 \[
   \begin{aligned}
   \left[a_{0}, \cdots, a_{n-2}, a_{n-1}^{\prime}\right] &= \frac{a_{n-1}^{\prime} p_{n-2}+p_{n-3}}{a_{n-1}^{\prime} q_{n-2}+q_{n-3}} = \frac{a_{n-1} a_{n} p_{n-2}+p_{n-2}+a_{n} p_{n-3}}{a_{n-1} a_{n} q_{n-2}+q_{n-2}+a_{n} q_{n-3}} \\
   &= \frac{a_{n}\left(a_{n-1} p_{n-2}+p_{n-3}\right)+p_{n-2}}{a_{n}\left(a_{n-1} q_{n-2}+q_{n-3}\right)+q_{n-2}}
   = \frac{a_{n} p_{n-1}+p_{n-2}}{a_{n} q_{n-1}+q_{n-2}}
   = \frac{p_{n}}{q_{n}}.
 \end{aligned}
 \]
 即得所欲证。 
\pause
 上述推理是对字母进行的， 故改写 $a_{n}$ 为 $x$ 后仍成立。

 \pause
  (2) 证明都很容易， 但步骤较多， 暂时略去， 到 $\S 6.1$ 再做证明。
\end{proof}

\pause
\begin{remark*}
  定理 1 中 $\left(p_{n}, q_{n}\right)$ 与 (习题1.4, 7) 中 Bézout 系数 $\left(u_{n}, v_{n}\right)$ 的结果完全一致（即当 $\alpha=a / b$ 时， $\left.\left(p_{n}, q_{n}\right)=\left(u_{n}, v_{n}\right), v_{k} a-u_{k} b=(-1)^{k} r_{k+1}\right)$. 这是因为， 二者均只与连分数展开 (辗转相除) 的前 $n$ 步有关系， 与后面步骤 (可能无穷多)无关，而相邻步间的递推关系是一致的。
  特别地，我们有$p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^{n-1}$, 且$p_n,q_n$总互素。
\end{remark*}


\end{frame}

\begin{frame}{连分数的应用}
\pause
  连分数在理论和实际应用上都很重要。

\pause
  \begin{example}%例1
    [圆周率] 经计算可知圆周率 $\pi$ 的连分数
  \[
      \pi= [3,7,15,1,292,1,1,1,21,31,14,2,1, 1,2,2,2,2,1,84,2,1,1, \cdots] .
\]
按定理 1 公式， 可得渐近分数 $p_{n} / q_{n}$ ($n=0,1,2,3,4, \cdots$) 的前 5 个为
\[
\frac{3}{1}, \quad \frac{22}{7}, \quad \frac{333}{106}, \quad \frac{355}{113}, \quad \frac{103993}{33102}, \quad \frac{104348}{33215}, \cdots
\]
其中 $\frac{22}{7}, \frac{355}{113}$ 被祖冲之首先发现， 命名为疏率、密率， 领先世界一千多年。 密率是分母小于 16604 的分数中最接近 $\pi$ 的。

用简单的分数逼近无理数(或大分母分数)的问题， 都与此类似。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}%例2
  [阴历闰月]
  一回归年是 $365.242\; 2$ 天， 一朔望月是 $29.530\;6$ 天
（回归年即从地球上看太阳经历四季而又回归出发点 (春分点) 所需时间。 
朔望月为从地球上看月相盈亏的周期。 
这些值常稍有变化， 此处均指平均值). 阴历是适当调和 (朔望) 月和 (回归)年的关系的产物。
历法要规定一年几个月为好呢? 显然 $12$ 个月太少 (只有 $354.37$ 天， 不足约 $11$ 天). 
解决的办法是： 平 (常) 年为 $12$ 个月， 隔几年增加一个月 (闰月). 
那么要隔几个平年才增一个闰月呢? 因 $3$ 个平年共约不足 $33$ 天， 
故 $3$ 年中设一闰月， 仍不足约 $4$ 天; $21$ 年设 $8$ 个闰月似较妥。 
要精确地计算， 最好是求出回归年和朔望月的某种 “最小公倍数”, 即希望有整数 $m, n$ 使得
\[
n \cdot 365.2422=m \cdot 29.5306
\]
这样， 即可知 $n$ 年恰好有 $m$ 个月。 这也就是要求解：
\[
\frac{365.2422}{29.5306}=12.3682620739=\frac{m}{n}, \quad \text { 即 } \quad 0.3682620739=\frac{m-12 n}{n}=\frac{\Delta}{n}.
\]
只能求近似解。 将小数部分 (即 $12$ 个月之外的零头) 展开为连分数：
$0.3682620739=[0,2,1,2,1,1,16,1,5,2,6, \cdots]$, 其渐近分数为
\[
\frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3}, \quad \frac{3}{8}, \quad \frac{4}{11}, \quad \frac{7}{19}, \quad \frac{116}{315}, \quad \frac{123}{334}, \quad \frac{731}{1985}, \quad \frac{1585}{4304}, \cdots
\]
所以两年一闰太多; $3$ 年 $1$ 闰仍不足; $8$ 年 $3$ 闰稍多; $11$ 年 $4$ 闰略少; 
$19$ 年 $7$ 闰较好 (从后两者可得出 $30$ 年 $11$ 闰较好).
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}%例3
    [阳历闰年]
    现行历法对阳历闰年的规定为：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。 这是为了调和一回归年 ($365.242\; 2$ 天) 和一天的时间长度 (即让每年是整数天数). 因为若规定每历法年 365 天， 则不足约 $1 / 4$ 天才真正到回归年， 故约每 $4$ 年要加一天 (即 $4$ 年中要有一个闰年). 为精确计算， 需要将回归年的分数部分展开为连分数得
  \[
  \Delta=0.24219879=[0,4,7,1,3,5,6,1,2, \cdots]
\]
按定理 1 公式， 可得渐近分数 $p_{n} / q_{n}(n=0,1,2,3,4, \cdots)$ 的前几个为
\[
0, \quad \frac{1}{4}, \quad \frac{7}{29}, \quad \frac{8}{33}, \quad \frac{31}{128}, \quad \frac{163}{673}, \quad \frac{1009}{4166}, \quad \frac{1172}{4839}, \quad \frac{3353}{13844}, \cdots
\]
渐近分数 $1 / 4$ 说明每 $4$ 年一闰， $8 / 33$ 说明每 $33$ 年 $8$ 闰(即 $99$ 年 $24$ 闰). 所以历法规定每四年一闰， 逢百年免闰一次， 正合 $99$ 年 $24$ 闰之数。 但这样就使 $400$ 年 $96$ 闰; 若进一步考虑 $\frac{31}{128}$, 则因 $400=3 \cdot 128+4 \cdot 4$, 知每 $400$ 年应 $97$ 闰；故再规定逢 $400$ 年恢复闰年一次。

历法、日月食发生等天文问题，都可类似讨论。
\end{example}
\end{frame}

%\begin{example}%例4
%  [乐律] 我们已看到， “历法”是用来“划分时间”的， 以“年”为基本
%周期划分时间长河，年内再划分为“月”等一一当然不是随意划分的，是基于自然界的太阳月亮运行周期，即回归年、塑望月等。类似地，“乐律”是用来 “划分音高”的，以“二倍频音”（通称为八度音程）为基本周期划分音高频谱，一个周期内再划分为音级一一当然不能随意划分， 要基于自然界的声音 “拟周期”，即“泛音和共鸣”. 我们在这里简述乐律的制定和各乐律之间的关系。 详可见附录 1.
%
%泛音和共鸣现象是乐律的物理基础。 器物发出的每个声音都由多个谐音 (波形为正余弦函数) 叠加而成， 频率分别为 $f_{0}, 2 f_{0}, 3 f_{0}, \cdots$, 其中 $f_{0}$ 频音为基音，决定全音的高低，其余音为泛音。 这些音是天然协和的。
%
%二倍频 $\left(f_{0}\right.$ 与 $\left.2 f_{0}\right)$ 两音， 听起来几乎等同 (故称为同名音), 二者音高差被称为 “八度音程”. 这是乐律的最基本周期，相当于历法中的一年。 每年的元旦，人们仿佛又回到去年今日。 同样的， “高八度”的音被人们认为相同， 男女合唱往往相差八度。
%
%要将八度音程再分级， 就要尊重三倍频 (第 $2$ 协和) 关系。 设中央 $C$ (唱名 do) 频率为 $f_{0}$, 其三倍频 $3 f_{0}$ 不在基本八度区间 $\left[f_{0}, 2 f_{0}\right]$ 内， 再半倍频得其同名音频 $(3 / 2) f_{0}$ (音名记为 $\mathrm{G}$, 唱名 $\mathrm{sol}$ ). $f_{0}$ 到 (3/2) $f_{0}$ 频音 (即 $\mathrm{C}$ 到 $\mathrm{G}$ )的音高差被称为 “纯五度”. 继续这种 “三倍频”结合 “半倍频”方法， 得到比 G 高纯五度的音 (的同名音 $\mathrm{D},(9 / 8) f_{0}$ 倍频). 如此类推 (称为五度相生法), 可得到频率的 (无限) 系列 (以 $f_{0}$ 为单位):
%\[
%1 \rightarrow \frac{3}{2} \rightarrow \frac{3^{2}}{2^{3}} \rightarrow \frac{3^{3}}{2^{4}} \rightarrow \frac{3^{4}}{2^{6}} \rightarrow \frac{3^{5}}{2^{7}} \rightarrow \frac{3^{6}}{2^{9}} \rightarrow \frac{3^{7}}{2^{11}} \rightarrow \frac{3^{8}}{2^{12}} \rightarrow \frac{3^{9}}{2^{14}} \rightarrow \frac{3^{10}}{2^{15}} \rightarrow \frac{3^{11}}{2^{17}} \rightarrow \frac{3^{12}}{2^{18}} \cdots
%\]
%对应的音分别命名为
%\[
%\mathrm{C} \rightarrow \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow{ }^{\#} \mathrm{~F} \rightarrow{ }^{\#} \mathrm{C} \rightarrow{ }^{\#} \mathrm{G} \rightarrow{ }^{\#} \mathrm{D} \rightarrow{ }^{\#} \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{F} \rightarrow \tilde{\mathrm{C}} \cdots
%\]
%当然希望此序列有限长， 故希望 $3^{n_{1}} / 2^{m_{1}}=3^{n_{2}} / 2^{m_{2}}$ (对某整数 $m_{i}, n_{i}, i=1,2$ ).即需要求整数 $m, n$ 使 $3^{n} / 2^{m}=1$, 即 $3^{n}=2^{m}$, 即 $n \cdot \log 3=m \cdot \log 2$. 这只有近似解， 可用连分数求得 (本书 $\log =\ln$ 均指自然对数， 即 $\log \mathrm{e}=1$ ). 将 $\log 3 /$ $\log 2=1.5849625 \cdots$ 展为连分数：
%\[
%\log 3 / \log 2=[1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1, \cdots]
%\]
%于是由定理 1 公式， 可得渐近分数 $p_{n} / q_{n}(n=0,1,2,3,4, \cdots)$ 的前几个为
%\[
%1, \quad 2, \quad \frac{3}{2}, \quad \frac{8}{5}, \quad \frac{19}{12}, \quad \frac{65}{41}, \quad \frac{84}{53}, \quad \frac{485}{306}, \cdots
%\]
%不约而同地， 世人大多取 $\log 3 / \log 2 \approx 19 / 12$, 即
%\[
%\frac{3^{12}}{2^{18}}=2.0272865295410 \cdots \approx 2
%\]
%也就是说， 将频率 $3^{12} / 2^{18}$ 等同于 2 , 即以 $\mathrm{c}^{2}$ 代替 $\mathrm{C}$ (产生的误差称为 Pythagoras (毕达哥拉斯) 微差). 这样， 上述五度相生序列到 $\mathrm{F}$ 为止， 下接 $\mathrm{c}^{2}$, 与 $\mathrm{C}$ 同名，相当于首尾相接， 称为 “五度相生环”。从而得到 12 个音 (由低到高)：C, ${ }^{\#} \mathrm{C}, \mathrm{D},{ }^{\#} \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F},{ }^{\#} \mathrm{~F}, \mathrm{G},{ }^{\#} \mathrm{G}, \mathrm{A},{ }^{\#} \mathrm{~A}, \mathrm{~B}$, 各相邻音差称为 “半音程”. 这就是许多民族都应用的五度相生十二律。 在中国，春秋时期已发现，称为 “三分损益法， 隔八相生”. 例如在弦乐器上， 弦长“三分损一”就是弦长限短至 $2 / 3$ 时，其震动频率增 $3 / 2$ 倍， 即音高增 5 度; 而“三分益一”就是弦长放长到 $4 / 3$ 时，频率降至 $3 / 4$, 即低 4 度（因频率 $3 / 4$ 与 $3 / 2$ 为同名音， 即隔八相生). 对管乐器也类似， 但要稍做管口调整。
%
%五度相生律只基于二、三倍频， 故其基本音不完全协和， 且有 Pythagoras 微差。 如果进一步， 再考虑到五倍频的协和音， 得到的乐律称为纯律， 就很协和了。 但此二乐律都不利于转调， 因为它们的半音程都是不等的。 为了转调 (尤其是键盘乐器)方便， 逐渐发展出了十二平均律， 即将基本八度区间 12 等分， 得到 12 个音(相邻音的音高之差都相等， 即相邻音的频率之比都相等),这 12 个音的频率分别为 (以中央 $\mathrm{C}$ 频率 $f_{0}$ 为单位):
%\[
%1, \quad r, \quad r^{2}, \quad r^{3}, \quad r^{4}, \quad r^{5}, \quad r^{6}, \quad r^{7}, \quad r^{8}, \quad r^{9}, \quad r^{10}, \quad r^{11}, \quad r^{12}=2 .
%\]
%故 $r^{12}=2$, 即 $r=\sqrt[12]{2}$. 依次记此 12 个音为 (十二平均律的) C, ${ }^{\#} \mathrm{C}$,\\
%$\mathrm{D}, \quad{ }^{\#} \mathrm{D}$,\\
%$\mathrm{E}$,\\
%F, $\quad$ "F,\\
%$\mathrm{G}, \quad{ }^{\#} \mathrm{G}$,\\
%$\mathrm{A}, \quad{ }^{\#} \mathrm{~A}$,\\
%$\mathrm{B}, \quad \mathrm{c}^{1}$,
%
%即得到十二平均律。 用频率的对数度量音高最方便， 将音高的升降化为了频率对数的加减运算。 这样， 十二平均律的每个半音程 (频率比 $r=\sqrt[12]{2}$ ) 均为 100 音分 (例如 $\mathrm{C}$ 与 ${ }^{*} \mathrm{C}, \mathrm{E}$ 与 $\mathrm{F}$ 之间). 一个八度为 1200 音分。
%
%我们将在第六章详谈连分数及其应用， 在附录 1 详谈乐律与连分数。
%\end{example}
%
\begin{frame}
  \begin{comment*}%评述
  连分数历史古老， Euclid 辗转相除即生成连分数。 其引人十分自然， 人常用数的整数部分代此数， 若要再精确一点， 就再给出其小数部分的倒数之整数部分， 等等， 即为连分数。 用连分数表示实数， 比用十进小数更合理：因为这“ 10 ”的选取不自然， 不唯一; 而连分数超脱了这些， 更纯粹。 连分数步步皆是最佳逼近，而十进小数不然。“小分子分母”分数的连分数皆短小 (而小数不然). 当且仅当分数的连分数有限 (而小数不然). 当且仅当二次数 (开方根) 的连分数循环 (而小数循环者为分数一一可见， 连分数处理开方之
易， 犹如小数之于分数一般). 连分数更有不可计数的应用： 最佳逼近、超越数、不定方程、天文、历法、乐律， 等等。 论数者单赞这 “连分数之神奇灵妙” $曰：$
\begin{poem}
莲花步步最可人， 调罢律吕定天文。\\
有限分数嗔小数， 悄赢二次回环心。
\end{poem}
\end{comment*}

\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 如何将一个正实数展开为简单连分数？
    \item 连分数的第$n$个渐进分数指什么？其分子分母可如何递归地得到？
    \item 正实数$\alpha$的连分数如何收敛到$\alpha$?
  \end{enumerate}
\end{frame}
